On Approximately Fair Cost Allocation in Euclidean TSP Games

We consider the problem of allocating the cost of an optirnal traveling salesman tour in a fair way among the nodes visited; in particular, we focus on the case where the distance matrix of the underlying TSP problem satisfies the triangle inequality. We thereby use the model of TSP games in the sense of cooperative game theory. We give examples showing that the core of such games may be empty, even for the case of Euclidean distances. On the positive, we develop an LP-based allocation rule guaranteeing that no coalition pays more than c~ times its own cost, where a is the ratio between the optimal TSP-tour and the optimal value of its Held-Karp relaxation, which is also known as the solution over the "subtour polytope". A well-known conjecture states that c~ < 4 5We also exhibit examples showing that this ratio cannot be improved below 4 Summary. Wir betrachten die Aufgabe, die Kosten einer optimalen Traveling-Salesman-Tour fair unter den besuchten Knoten zu verteilen; insbesondere untersuchen wir den Fall, dab die Kostenmatrix des zugrundeliegenden TSP-Problems die Dreiecksungleichung erRillt. Dazu wird das Modell von TSP-Spielen im Sinne der kooperativen Spieltheorie benutzt. Wir zeigen anhand eines Beispiels, dab der Core eines solchen Spiels leer sein kann, selbst im Falle euklidischer Distanzen. Andererseits geben wit eine LP-basierte Verteilungsregel an, die garantiert, dag keine Koalition mehr als das c~-fache ihrer eigenen Kosten bezaahlen mug, wobei c~ das Verh/iltnis zwischen den Kosten einer optimalen TSPTour und dem Optimum der Held-Karp-Relaxation ist, die auch als L6sung fiber dem "subtour polytope" bekannt ist. 4 Abschliegend Es wird allgemein vermutet, dab ct _< 5" geben wir eine Klasse yon Beispielen an, die beweist, dab keine allgemeine Verteilungsregel ftir das TSP-game ein * Parts of this work were done while the author was staying at the Department of Applied Mathematics and Statistics, SUNY Stony Brook, NY 11794-3600, during a visit at RUTCOR, Rutgers University, and during a stay at Tel Aviv University; support by NSF Grants ECSE-8857642 and CCR-9204585. ** Parts of this work were done while the author was visiting at RUTCOR, Rutgers University, supported by SFB 303 (Deutsche Forschungsgemeinschaft). Correspondence to: W. Hochst~ittler and S.P. Fekete 4 zwischen der Belastung generell besseres Verh~iltnis ats 5 einer Koalition und ihren Kosten garantieren kann.